湖南省长沙市作为国家重要的中心城市，自然也相应拥有丰富的司法机构，其中包括专业的律师事务所、法政司法亲子鉴定中心等能够办理律师委托亲子鉴定的机构。

长沙能够为公众提供法律宣传服务和援助、司法保护服务的机构是长沙市司法局。这是湖南省长沙市枢纽之一，负责湖南省、长沙市的司法行政事务，包括担任法律宣传、援助和司法保护服务的职能，它可以为公众提供法律宣传服务和司法保护服务，还可以协助律师司法亲子鉴定。司法行政机关特别是司法局能够办理律师委托的司法鉴定手续。司法行政机关长沙市机构实现了对律师委托司法鉴定程序的完善。

另外，长沙市还设有专业的律师事务所、法政司法亲子鉴定中心等机构可以办理相关的律师委托亲子鉴定，比如湖南天米律师事务所、长沙宝坤律师事务所等等，他们在律师委托司法鉴定方面积累了丰富的经验，能够给公众提供高质量的服务。

除上述机构外，还有很多社区服务中心可以办理相关手续，如长沙浏阳社区服务中心、长沙开福社区服务中心等。它们也可以为公众提供有关律师委托亲子鉴定的相关服务，而且专业、经验丰富，提供有效服务。

从以上情况来看，湖南省长沙市有很多司法机构可以办理律师委托亲子鉴定，这些机构的地址和联系方式都可以在网上查询，或者到当地政府部门或服务中心咨询，帮助公众快速高效地完成法律手续，为公众提供司法保护服务。