随着法院对于亲子鉴定行为的支持，有越来越多的家庭把亲子鉴定这项工作交给专业的医学机构来进行。而郑州现在也有一些法医鉴定中心能够为需要的家庭办理父子亲子鉴定的手续。

首先，在郑州可以做父子亲子鉴定的是郑州市知名司法鉴定中心。该中心拥有先进的技术设备和高素质的鉴定专家，可以很好地完成亲子鉴定的办理。另外，郑州司法鉴定中心也有司法鉴定的实验室，可以提供DNA亲子鉴定服务。记者在采访中发现，该中心不仅可以代办父子亲子鉴定的手续，还可以做司法鉴定上户口用。

此外，郑州还有很多知名的医院可以提供专业的亲子鉴定服务。比如郑州第一人民医院、郑州大学第一附属医院、郑州金水区中心医院，等。在郑州这些医院都有专业的学科和技术队伍，可以确保专业服务质量。

另外，有很多私家机构在郑州也做了亲子鉴定的服务。不过，由于没有司法权威背景，这些私家机构开展的亲子鉴定和司法鉴定机构开展的亲子鉴定就存在可能具有不同的结果，不具有法律效力。所以，当办理亲子鉴定的时候，家长应当尽量选择正规的司法鉴定机构，它的鉴定结果是有法律效力的。

综上所述，郑州市有很多可以做父子亲子鉴定的机构，比如司法鉴定中心和多家知名的医院，以及部分私家鉴定机构。家长们在办理亲子鉴定的时候，一定要谨慎选择，尤其是要选择有司法背景的鉴定机构，才能确保亲子鉴定结果有法律效力。